Teoremi, intuizioni, riflessi e iterazioni

La matematica dei punti fissi come bussola nell'incertezza dell'innovazione

Durante le ore passate a studiare teoremi e dimostrazioni ho sempre cercato di andare oltre, esplorando la vita e il contesto intellettuale dei matematici che li hanno formulati. Ricordo, durante la preparazione di un esame di topologia, di essere rimasto particolarmente colpito dal teorema del punto fisso di Brouwer. Mi affascinava il fatto che fosse presentato in due modi: una dimostrazione elegante e semplice, basata sul ragionamento per assurdo, e un'altra, più articolata, che richiedeva l'impiego di ulteriori risultati matematici.

All'epoca, senza strumenti come ChatGPT, mi ritrovai a cercare online spiegazioni sul perché esistessero due approcci distinti per dimostrare lo stesso teorema. Fu così che mi imbattei in un vasto universo di informazioni sull'intuizionismo, la corrente filosofico-matematica sviluppata da Brouwer agli inizi del Novecento. Questa visione, che oggi definiremo "disruptive", sosteneva che la matematica non esista indipendentemente dal pensiero umano, ma sia una costruzione mentale. Ma cosa implica esattamente questo punto di vista?

Che un qualsiasi risultato matematico è valido solo se si riesce a costruirlo concretamente, non semplicemente dimostrando che non può non esistere.

Questa distinzione sottolinea la profonda differenza tra dimostrare che qualcosa deve esistere e mostrare esattamente come trovarlo.

Drawing Hands di M.C. Escher non una semplice un'illusione ottica, ma un potente simbolo di autoreferenzialità. Le mani che si disegnano a vicenda suggeriscono l'idea di un ciclo in cui ogni elemento sostiene e definisce se stesso, proprio come accade nei sistemi in cui si manifestano i punti fissi. Fonte immagine: Wikipedia.

La matematica dei punti fissi: da Brouwer a Banach

Il concetto di punto fisso è sorprendentemente semplice ma racchiude in sé una profondità notevole. Immaginate uno spazio X e una funzione

\(f: X \rightarrow X\)

Un punto x che appartiene a X viene definito punto fisso se, applicando la funzione f a x si ottiene proprio x; ovvero:

\(f(x) = x\)

Questa definizione, pur essendo lineare, si traduce in intuizioni potenti. Ad esempio, il teorema di Brouwer ci regala un'immagine affascinante: se prendiamo un disco (o, più in generale, una palla chiusa) e lo deformiamo continuamente – stirandolo, ruotandolo o comprimendolo – ci garantisce che esiste sempre almeno un punto che resta invariato, un vero ancoraggio in mezzo a trasformazioni incessanti.

Un approccio ancora più costruttivo e immediato è offerto dal teorema della contrazione di Banach.

Qui, immaginiamo di operare in uno spazio dotato di una nozione di distanza, indicato come (X, d). Supponiamo che la funzione

\(f: X \rightarrow X\)

agisca come un "regolatore" che, ad ogni applicazione, accorcia le distanze tra i punti. Più formalmente, esiste una costante k, compresa tra 0 e 1 tale per cui

\(d(f(x),f(y))≤k⋅d(x,y) \quad \text{per ogni} \quad x,y∈X. \)

Questa condizione ci dice che la funzione "stringe" lo spazio. Partendo da un punto iniziale

\(x_0\)

e definendo la successione

\(x_{n+1} ​ =f(x_n ​ ),\)

notiamo che ad ogni iterazione i punti si avvicinano sempre di più a un valore stabile,

\(x^* \space \text{punto fisso, tale che} \quad f(x^*)=x^*\)

L'iterazione, con i suoi piccoli passi continui, porta così a un equilibrio in modo esponenziale.

Iterazioni e innovazioni

Mentre il teorema di Brouwer ci garantisce l'esistenza di un punto fisso in maniera più astratta, il teorema di Banach ci mostra concretamente come, iterando una funzione che accorcia le distanze, possiamo raggiungere quell'equilibrio. Questa dinamica iterativa diventa una splendida metafora per quei processi in cui il miglioramento graduale, passo dopo passo, conduce a una stabilità finale e ottimale.

Se volessimo calare questi principi matematici nel mondo dell'innovazione e delle startup (pur con le dovute cautele interpretative) emerge un parallelo illuminante. Il ciclo build-measure-learn, cuore pulsante della metodologia lean startup, può essere interpretato come l'applicazione iterativa di una funzione che progressivamente riduce la distanza tra prodotto offerto ed esigenze reali del mercato. Ogni ciclo di feedback rappresenta un'iterazione che, analogamente al teorema di Banach, avvicina l'impresa al tanto ricercato product-market fit.

Concludo questo numero di theorema riflettendo su quanto la matematica dei punti fissi – da quel teorema di Brouwer che tanto mi affascinò durante lo studio della topologia fino alle applicazioni costruttive di Banach – possa rappresentare una bussola concettuale per navigare l'incertezza di un qualsiasi percorso innovativo con rigore e fiducia nel processo iterativo.

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